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Picard逐次逼近法在高维隐函数存在
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定理证明中的应用[华文中宋二号居中]
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Picard iterative method and its application to
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prove the existence of high-dimensional
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implication function theorem
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[英文题目为Times New Roman二号]
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专 业:
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| 数学与应用数学[华文中宋三号]
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作 者:
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| 黄东冬[华文中宋三号]
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指导老师:
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| 李松华[华文中宋三号]
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二○一二年五月 岳阳
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[空一行黑体小三号]
摘 要
[空一行黑体小四号]
在附加Lipchitz条件基础上, 利用Picard逐次逼近法证明了高维情形的隐函数存在定理, 为高维情形的隐函数定理提供另一种证明, 同时为隐函数的近似显式表达式求法提供一种方法.
关键词: Picard逐次逼近法; 隐函数存在定理; Lipchitz条件
[注: 以上部分的开始都需空两个中文字符, 关键词为黑体]
[空一行黑体小三号]
Abstract
[空一行黑体小四号]
Based on adding Lipchitz condition, we prove the high dimensional implicit function theorem using Picard iterative, which provides another proof of it. Furthermore, we obtain a method for the approximate explicit expression of implicit function.
Keywords: Picard iterative method; implicit function theorem; Lipchitz condition
[注: 以上英文摘要部分的字体都是Times New Roman, 且每一段开始都需空四个英文字符, Abstract为加粗小三, Keywords为加粗小四, 其余小四, 关键词之间用分号隔开, 关键词首写字母不大写(专有名词除外)]
[空一行宋体小四号]
目 录[黑体小三居中]
[空一行宋体小四号]
摘 要I
ABSTRACTII
0 引言1
1 定理1
2 定理证明过程2
2.1 构造Picard近似函数序列3
2.2 证明收敛性4
2.3 证明所得序列的极限为初值问题的解6
2.4 证明解的唯一性7
参考文献10
[字体全部为宋体小四]
(课程论文本页不作要求,可以不要!!!!!)
0 引言[一级标题为黑体小三]
[一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号]
Picard逐次逼近法在数学理论及数值计算中有及其广泛的应用, 如求证微积分方程的解的存在唯一性, 求取微积分方程的近似解等. 在文[2-4]中, 他们利用Picard逐次逼近法证明了一阶常微分(积分)方程解的存在性, 文[6-9]主要介绍了Picard逐次逼近法的一些应用和推广方面的研究. 对于隐函数的存在性定理, 文[1]中采用分析的方法证明了这一定理. 邹添杰在[5]中通过附加了Lipchitz条件, 利用Picard逐次逼近法给出了一维隐函数存在定理的证明. 本文利用Picard逐次逼近法证明了高维情形隐函数的存在性定理, 同时为高维隐函数的近似求法提供一种方法.
[一级标题在正文中间时, 前面需空一行宋体小四号]
1 隐函数定理
[一级标题靠最左端, 即不需空两个中文字符, 后面空一行宋体小四号]
首先假设隐函数
满足
(i)
在
:
,
(
)上具有对一切变量的连续偏导数;
(ii)
;
(iii)
;
(iv) 在
上
关于
满足Lipchitz条件: 即对
上任意两点
,
不等式
公式编号左对齐(1.1)
恒成立,
为与
和
无关的正常数(Lipchitz常数). 则有
(i) 在点
的某一邻域
内, 方程
唯一确定一个函数
,
且满足
;
(ii)
在
内连续;
(iii)
在
内对各个变量有连续偏导数, 且
, (
) (1.2)
其中
,
.
2 隐函数定理证明过程
下面将运用Picard逼近法对定理作出证明.
证明 若
在
内能唯一确定可导的函数
, 且满足
以及
, 即等价于以下的初值问题:
(2.1)
在
内有唯一解
且
. 简记
,
(2.2)
下面将按照Picard逐次逼近法的四个步骤予以证明.
[二级标题需空两个中文字符, 前面空一行宋体小四号]
2.1 构造picard近似函数序列[二级标题为黑体四号]
首先构造一个Picard近似函数序列.
用满足
的函数
(2.3)
代替
中的
, 则
(2.4)
其右边是
在
中的已知函数. 对(2.4)两边关于
积分(很明显
在
内连续, 故可积), 并令它满足
.
于是得到关于
的一次近似
(2.5)
(其中
)在
内连续.
再将
代入(2.5)的右边就得到关于
的二次近似
(2.6)
(其中
)在
内连续.
如此下去, 我们可以得到
次近似解
(2.7)
(其中
)在
内连续.
为了保证上述逐次逼近可以一直进行下去, 要证明当
时, 有
,
. 因为
应该保持在
之中. 如果某个
超越出了
, 由于函数
只能保证在
内有定义, 由(2.7)可以看到
次近似
就不能保证在
上存在了.
以下将用数学归纳法予以证明.
易知在区间
上函数满足
. 若函数
在此区间上满足
, 由(2.7)式有
.
从而有
. (2.8)
由于已经假定在区间
上
. 所以根据定理的条件(i)以及
就有
. (2.9)
由此, 我们在区间
上按逐次逼近法得到了一个连续序列:
,
,
,
,
,
2.2 证明收敛性
下面证明近似序列
在邻域
内一致收敛. 为此我们考察以下函数级数
(2.10)
其部分和为
所以说, 如果函数项级数(2.10)在
内一致收敛, 则表明
存在. 为证明级数收敛, 我们首先来估计级数各项的绝对值.
首先
,
故
(2.11)
由一次近似和二次近似的定义以及定理条件满足Lipchitz条件, 我们有
下面我们运用数学归纳法来证明不等式
. (2.12)
对于任意一个自然数都成立, 当
时我们已经证明不等式成立. 现在假设对于自然数
不等式(2.12)成立, 下面证明对于
不等式也成立. 于是我们有
(2.13)
由归纳假设(13), 我们有
. (2.14)
由于
, 故级数(2.10)自第二项开始, 每一项绝对值都小于正项级数
的对应项.
而上面这个正项级数显然是收敛的, 故由优级数判别法, 级数(2.10)在邻域
内不仅收敛, 而且是一致收敛的. 设其和函数为
, 因为近似函数序列
在邻域
内连续, 因而所得一致收敛函数的极限函数
亦连续.
2.3 证明所得序列的极限为初值问题的解
下一步证明
是初值问题(2.1)的解首先我们在Lipchitz条件下作以下估计
. (2.15)
由于函数序列
在邻域
内一致收敛, 故对于任意给定的
, 存在自然数
, 当
时, 对于邻域
内所有
(
)恒有
,
从而
.
由此可知
. (2.16)
即
. (2.17)
从而我们对等式(8)分别两端极限有
. (2.18)
亦即
即有
(2.19)
其中
.
2.4 证明解的唯一性
最后我们来证明(2.1)的解的唯一性.
假设
与
都是(2.1)的解,于是就有其公共区域为
,由前面的第三步有
.
(2.20)
和
.
(2.21)
由(2.20)和(2.21)得
其中
. 记
(2.22)
其中
,
. 于是上述式子可以写成
两边乘以
, 有
两边从
到
积分, 且由
得
,
又
, 故
.
又由(2.22)知
,
所以
.
同理可证当
时
.
综上所述当
时,
,
求导得到
,
即
,
其中
. 这就证明了满足(2.1)的解只有一个.
由证明开头的分析及Picard逐次逼近法的几个步骤知道,
在
内唯一确定一个函数
, 且满足
, 同时
在
内连续. 到此定理证明完毕!
致谢 本文是在李松华博士的指导和帮助下完成的, 在此对李老师表示衷心的感谢!
注:
1. 论文的页面设置请参阅《毕业论文工作手册》P24, 三级标题用黑体小四不空行;
2. 论文中的公式编号统一采样“(一级标题序号.公式序号)”格式且右对齐, 如上面论文中的公式
3. 论文中的“定义, 性质, 引理, 定理”等都用黑体小四, 统一采样“一级标题序号.本类序号”的编号, 如
定义1.1 设
是一个
阶矩阵,
是
中的元素
的代数余子式, 则称
为
的伴随矩阵.
定理2.2
(
), 且
.
证明 当
时,
, 则
.
4. 论文中的“例题, 解”都用黑体小四, 统一采样“本类序号”的编号, 如
例13 将
在
内展开为Laurent级数.
解 因为
, 所以由
,可得
,
,
5. 论文中的“表”都用黑体五号, 居中或文字环绕,表头统一采样“本类序号”的编号且放在表头居中, 表中的文字统一要求采用五号, 中文用宋体, 英文用Times New Roman, 例如
表 3
字段名
| 说明
| 数据类型
| Not Null
| 字段大小
| 备注
|
Id
| 主键
| char
| Yes
| 10
| 教师代码
|
Username
|
| char
| Yes
| 10
| 教师用户名
|
6. 论文中的“图”都用黑体五号, 居中或文字环绕,统一采样“本类序号”的编号且放在图下面, 例如
图 13
[参考文献另起一页, 且前空一行宋体小四]
参考文献[黑体小三居中]
[后空一行宋体小四,文献部分用五号, 中文用宋体, 英文用Times New Roman]
[1] 陈传璋, 金福临, 朱学炎. 数学分析(上、下册) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1983.
[2] 东北师大微分方程教研室. 常微分方程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.
[3] 王高雄,周之铭,朱思铭. 常微分方程 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.
[4] 郭迎娜, 赵军. 关于一个积分方程解的存在唯一性证明[J]. 安阳工学院报, 1(2006), 71-74.
[5] 邹添杰. 毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用[D]. 广州: 中山大学05级数学与应用数学基地班.
[6] 何昌,孙昭洪. 一类非线性算子方程解的迭代逼近 [J]. 四川大学学报(自然科学版), 3(2003),430-433.
[7] 李文荣. 一类迭代微分方程的Picard型定理[J]. 滨洲学院报,22:6(2006), 1-4.
[8] 陈祥都, 刘数堂. 用Picard迭代法解约束绳索动点坐标的数学说明[J]. 东北电力学院报, 16:2(1996), 46-55.
[9] 许晓婕, 杨 帆. 一阶隐式微分方程问题迭代法[J]. 松辽学刊(自然科学版) , 3(2001), 1-4.
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特别注意参考文献的格式
期刊文献:[序号]作者.文献题名[J].期刊名,卷:期(出版年), 起止页码A-B.(如上面文献[7])
专著文献:[序号]作者.书名[M].出版地:出版社,出版年.起止页码A-B (可选).
其余参考文献类型请参阅《毕业论文工作手册》P28.